lazy.symbolic: Collection of some useful symbolic tools for lazy boys and girls　記号演算のための関数群

Description

English help file: lazy.symbolic

Details

記号行列 (Semi symbolic matrix) とは、文字列を要素として持つ行列のことである。
完全記号行列 (Fully symbolic matrix) 行列と見なされる文字列を 要素として持つ行列のことである。
完全記号行列は TRUE の値を持つ fullsymb という attribute を持つ。

記号行列 (semi-symbolic matrix) の操作

• 行列の生成:

• demomat: 記号行列または完全記号行列の生成 (in lazy.tools)

• gen_random_expr: 記号行列を含む式の生成
  
  

• 基本演算子:
  （より自然な演算子に関しては modify_math_operators_JPH を参照のこと。）

• Plus or %p%: 加算 (+)

• Minus or %m%: 減算 (-)

• Times or %t%: 要素ごとの掛け算 (*)

• matTimes or %T%: 掛け算 (%*%)

• matKTimes or %@%: クロネッカー積 (%@%)

• tp: 完全記号行列 (fully symbolic matrix) の転置 (t)
  
  

• modify_math_operators 数値演算子の拡張
  この関数を実行することにより、上記の括弧の中の演算子が記号行列を 取り扱えるようになる。
  
  

  拡張された数値演算子の例はここ： (SymbolicOps_JPH)
  
  

• 逆行列の計算:

• matSweep: Sweep 演算子を用いる方法

• invGE: ガウスの消去法を用いる方法

• Inv: 上記の二つの方法を選べる関数
  
  

• 行列式の計算:

• Det: Sweep 演算子を用いる方法

• DetL: ラプラス展開を用いる方法
  
  

• 記号行列の要素に数値を代入するための関数:

• matReplace: 記号行列の要素に数値を代入

• Eval: 記号行列の要素に数値を代入して評価
  
  

• Utility Functions:

• Simplify: 式の単純化 (かなり原始的な方法)

• Expand: 掛け算の分配
  
  

• add_paren: 式を括弧で囲む

• locbalpar: 対応する括弧を探す
  
  

• analyze_expr: 式の構造を表示する

• nterms: 項の数を数える

• find_terms: 式を加算的な項に分解する

• find_factors: 式を乗算的な因子に分解する

• find_varfunc: 式中の変数と関数を表示

• is_valid: 文字列が式と見なせるか否かの検証
  
  

• Mathematica 的な演算子:

• %//% パイプ演算子

• %/.% 後置の置換演算子
  
  

• 総和記号の演算:

• mat2sum: 完全記号行列の式の要素を 総和記号を用いて表現する。

• sum2mat: 総和記号で示された式を完全記号行列 を用いて表現する。

• sumEval: 総和記号の添字に数値を代入

• sumExpand: 総和記号の展開

• sumMoveOut: 総和記号を左へ移動する（未完）

• sumMoveIn: 総和記号を右へ移動する

• sumSimplify: 総和記号を含む式の簡略化

• suminfo: 総和記号を含む式の情報の抽出

• sumDisplay: 総和記号を含む式の構造の表示
  
  

• クロネッカー積の操作:

• KP: A %@% B の i-j 要素の表示

• tr2vecK: 複数の行列の積のトレースの Kronecker 積による表現

• vec2vecK: ３つの行列の積をベクトル化したものの Kronecker 積による表現

他のパッケージで記号行列を扱える関数

• from lazy.tools:

• demomat: 記号行列または完全記号行列の生成

• Printm: 複数行列の名前付き印刷

• Printb: ブロック行列(分割行列）の印刷
  

• from lazy.mat:

• b_diag: ブロック対角行列の生成

• Diag: 対角行列の生成

• pmat: 並べ替え行列の生成

• Kmat: vec(A) を vec(t(A)) に変換する行列の生成

• repmat: 行列を縦方向に複製する

• ssq: 要素の２乗和

• tr: 行列のトレース. (modified in lazy.symbolic)

• transp: 行列や配列の転置

• vec: 行列のベクトル化

• vecdiag: 行列の対角要素の抽出

• vech: 行列の非対角要素の抽出

• vechindex: vech(A) と A の相互変換のための添字の生成

• vechinv: vech(A) から A を復元

• vecvecindex: vec(A) と vec(t(A)) の相互変換のための添字の生成

• supermat: SMdim 属性を持つ超行列の生成

• getSM: 超行列の要素の抽出

• modSM<-: 超行列の要素への代入

• Mh2Mv: 横に並べた行列を縦に並べ替える関数

• Mv2Mh: 縦に並べた行列を横に並べ替える関数

Examples

# 行列やベクトルの定義
P=demomat(2,2,root="p")
Q=demomat(2,2,root="q")
R=demomat(3,3,root="r")
A=demomat(3,2,root="a")
B=demomat(3,2,root="b")
C=demomat(2,3,root="c")
v2=demomat(2,1,root="v", vec=1)
v3=demomat(3,1,root="v", vec=1)
one2=matrix(1,2,1) # numeric
one3=matrix(1,3,1) # numeric

Printm(P,Q, R, A, B, C)
Printm( v2,v3,one2,one3)

# 通常の R のベクトル
vec2=c("c1","c2")
vec3=c("c1","c2", "c3")



# 転置
t(A)

# トレース
tr(P)

# 対角行列と対角要素
Diag(P)
diag(P)


# ２項演算子
# Note that symbolic operators have EQUAL precedence. Use ( ).

# スカラーを含む演算
1 %p% A
2 %t% v2
3 %t% A
B %T% 4

# ベクトルの加算・減算
v2 %p% v2
v2 %m% v2

# 行列の加算・減算
A %p% B
A %m% B

# 行列 x ベクトル
A %T% v2
t(v3) %T% A

# 行列 x ベクトル
A %T% one2
t(one3) %T% A

# 行列 x 行列
P %T% Q
Q %T% P

# 行列 x 行列
A %T% C
C %T% A


# 行列の列の定数倍
A %T% Diag(P)

# 行列の行の定数倍
Diag(R) %T% A



# 列の並べ替え
A %T% pmat(2,1,2)

# 行の並べ替え
pmat(3,1,2) %T% A



# 加算演算子と乗算演算子の優先順位は同じなので注意が必要
P %p% (t(A)%T%B)
#  error
# P %p% t(A)%T%B



# 直交行列
temp <- " cos(theta) -sin(theta)
          sin(theta) cos(theta)"
T <- cards(temp)
T <- matrix(unlist(T),2,2)
Expand(T,simplify=0)
tTT <- t(T) %T% T
Eval(tTT,theta=0)
Eval(tTT,theta=0, check=0)


# 平面回転 planar rotation
temp <- "
   1         0            0
   0         cos(theta1) -sin(theta1)
   0         sin(theta1) cos(theta1)  "
Tx <- matrix(unlist(cards(temp)),3,3)
temp <- "
   cos(theta2)  0            -sin(theta2)
   0            1            0
   sin(theta2)  0           cos(theta2)  "
Ty <- matrix(unlist(cards(temp)),3,3)
temp <- "
   cos(theta3)  -sin(theta3) 0
   sin(theta3)  cos(theta3)    0
   0            0            1    "
Tz <- matrix(unlist(cards(temp)),3,3)

# 平面回転 planar rotation
T <- Tx %T% Ty %T% Tz
T <- Simplify(T)
Tn <- Eval(T, values="theta1=1; theta2=2; theta3=3", check=0)
# see if T is orthonormal
t(Tn) %*% Tn %//% fuzz
Tn %*% t(Tn) %//% fuzz




# 行列の積の転置: t(PQ) == t(Q) t(P)
tPQ <- t( P%T%Q )
tQtP <- t(Q)%T%t(P)
Eval( tPQ%m%tQtP, P=demomat(2,2), Q=demomat(2,2))




# アダマール積
A %t% B
v2 %t% v2

# クロネッカー積
A %@% B
one2 %@% P
diag(3) %@% P
b_diag( P,P,P)


# R のベクトルの積
vec3 %t% A
A %t% vec3
vec2 %t% A




# 2 x 2 行列の逆行列
Pinv <- Inv(P)
PinvP <- Pinv %T% P
Eval(PinvP, P=demomat(2,2))

# 3 x 3 行列の逆行列の数値的検証
Rinv <- Inv(R)
RRinv <- R %T% Rinv
Eval( RRinv, R=matrix(runif(3*3),3) ) # Cannot use demomat(3,3) here.

# ガウスの消去法
invR <- invGE(R, print=1)[,-c(1:3)]
RinvR <- R %T% invR
Eval( RinvR, R=matrix(runif(3*3),3) ) # Cannot use demomat(3,3) here.


# 対角行列の逆行列
Inv(Diag(R))

# 下三角行列の逆行列: n x n
n <- 3
LT <- demomat(n,n,root="t", shape="lowert")
LTn <- demomat(n,n)
invLT <- Inv(LT, simplify=0)
invLT <- Expand(invLT)
LTinvLT <- LT%T%invLT
Simplify(Expand(LTinvLT))
Eval(LTinvLT,LT=LTn)


# 転置行列の逆行列: Inv(t(P)) = t(Inv(P))
invtP <- Inv(t(P))
tinvP <- t(Inv(P))
Print(invtP,"\n",tinvP)
Eval(invtP%m%tinvP, P=demomat(2,2), Q=demomat(2,2))

# 行列の積の逆行列: Inv(PQ) == Inv(Q) Inv(P)
invPQ <- Inv(P%T%Q)
invQinvP <- Inv(Q)%T%Inv(P)
dif <- invPQ%m%invQinvP
Eval(dif, P=demomat(2,2), Q=demomat(2,2))


# 行列式
temp <- Det(P)
Expand(temp)

# log determinant
Det(P,log=1)

# 数値的検証
dd <- Det(R)
Rn <- matrix(runif(3*3),3)
Print( Eval(dd,R=Rn),det(Rn) )

# ラプラス展開
DetL(R)
dd2 <- DetL(R, maxlevel=2)
Print( Eval(dd2,R=Rn),det(Rn) )



# 行列の要素の和
t(one3) %T% A %T% one2
Sum(A)

# 行列の各列の和 (colSums に相当)
t(one3) %T% A
apply( A, 2, Sum)

# 行列の各行の和 (rowSums に相当)
A %T% one2
apply( A, 1, Sum)



# 中心化行列
J <- diag(3) %m% ("(1/3)"%t%one3%T%t(one3))

# 行列の中心化
J %T% A |> Expand()
apply( Eval( J%T%A, A=matrix(runif(3*2),3) ), 2, sum )



# ベクトルの要素の２乗和
t(v2) %T% v2
Sum( v2 %t% v2 )


# 行列の要素の２乗和
tr(t(A) %T% A)
tr(A %T% t(A))
Sum(A %t% A)



# 行列のベクトル化
vec(R)


# vec 関数と Kronecker 積による表現
# vec( X %T% Y %T% Z)  ==  ( t(Z) %@% X ) %T% vec(Y)
X=demomat(2,2,root="x"); Y=demomat(2,2,root="y"); Z=demomat(2,2,root="z")
Xn=demomat(2,2); Yn=demomat(2,2); Zn=demomat(2,2)
vecXYZ <- vec(X%T%Y%T%Z)
vecXYZ <- Expand( vecXYZ )
tZKXvY <- (t(Z)%@%X) %T% vec(Y)
Print(vecXYZ,"\n",tZKXvY)
dif <- vecXYZ %m% tZKXvY
Eval(dif, X=Xn, Y=Yn, Z=Zn)


# トレースの vec 関数と Kronecker 積による表現:
# tr(XYZ) == t(vec(t(X)) I%@%Y vec(Z)
trXYZ <- tr( X%T%Y%T%Z )
vXetc <- t(vec(t(X))) %T% (diag(2)%@%Y) %T% vec(Z)
dif <- trXYZ %m% vXetc
Printm(trXYZ, vXetc,dif)

# 行列の下三角部分のベクトル化
( temp <- vech(R) )
vechinv(temp)
( temp <- vech(R,1) )
vechinv(temp,1)





# 行列の要素の総和記号による表現
# (大文字は行列、小文字は列ベクトルとして取り扱われる.)
mat2sum( "A %*% B" )
mat2sum( "A %*% B", root="z" )
mat2sum( "A %*% B", simple=0 )
mat2sum( "t(A) %*% B" )
mat2sum( "A %*% t(B)" )
mat2sum( "A %*%Diag(B)%*%C" )
mat2sum( "A %*% b" )
mat2sum( "t(a) %*% B" )
mat2sum( "a %*% t(b)" )
mat2sum( "A%*%(B+C)" )
mat2sum( "A%*%(B+C)", expand=0 )#'
mat2sum( "t(A)%*%t(B)%*%C - D%*%t(E)" )
mat2sum( "A%*%diag(B)%*%C - diag(D)%*%E%*%diag(F)%*%G + diag(H)" )

# 総和記号の展開他
exp <- "s( a[i]+b[i] - s( c[i,j]-d[i,j], {j} ), {i})"
sumExpand( exp, all=1 )

exp <- "s( a[i]+b[i] - s( c[i,j]-d[i,j], {j,1,nj} ), {i,1,ni})"
sumEval( exp, values="nj=2; ni=3")

sumMoveIn( "s( s( a[i,j]*b[j,k]*c[k,l], {k}) , {j})" )

exp="s( x + s( s( a[i,j]*b[j,k]*c[k,l], {k}) - y, {j}),  {l})"
sumMoveIn( exp, all=1 )